Fils d’un maître d’école et agriculteur, Stampfli grandit dans une famille de la classe moyenne à Büren dans le canton de Soleure. Une fois sa maturité en poche, il étudie à l’Ecole polytechnique fédérale de Zurich avant d’obtenir un doctorat de l’Université de la même ville. Il revient par ailleurs d’un séjour en Allemagne avec un diplôme de courtier en assurance. Marié en 1917, il aura trois enfants. La carrière politique de Stampfli commence en 1908, au poste de rédacteur de l’Oltner Tagblatt. Il est élu en 1912 au Grand Conseil soleurois, dans les rangs des radicaux, et en 1931 au Conseil national. Il entre en 1921 au service de Von Roll où il se chargera à partir de 1929 des institutions sociales de l'entreprise en qualité de directeur des activités commerciales et sociales. Pendant cette période, Stampfli milite aussi au sein de l'Union suisse des caisses de secours et des fondations en faveur de la vieillesse et de l'invalidité (SVUSAI), l’association des institutions de prévoyance des entreprises privées. Au plan politique, il défend les intérêts de l’industrie et s’oppose aux interventions de l’Etat dans l’économie. En 1931, il soutient la lex Schulthess, tout en appelant de ses vœux le développement de la prévoyance vieillesse privée. Lorsqu’il est élu au Conseil fédéral en 1940, Stampfli se charge des négociations économiques, tant avec l’Allemagne qu’avec les Alliés, et de l’organisation de l’économie de guerre, en raison de ses bons contacts avec l’étranger. Après la guerre, il prépare les nouveaux articles économiques de la Constitution fédérale qui permettent à l’Etat d’intervenir dans l’économie et associent en contrepartie les associations économiques aux prises de décisions politiques. Lorsqu’il quitte le Conseil fédéral à la fin 1947, Stampfli est élu président du conseil d’administration de Von Roll. Père d’un enfant handicapé, il œuvre aussi à l’intégration des personnes en situation de handicap dans le monde du travail.

Chef du Département fédéral de l'économie, dont dépendait alors l’Office fédéral des assurances sociales (OFAS), Stampfli a pour mission de réaliser les travaux préparatoires en vue de l’introduction de l’AVS, des travaux qui reprennent à la fin des années 1930. Marqué par les expériences de la Grande Guerre, il donne la priorité, pendant les premières années du conflit, au développement de l’assurance-chômage et refuse dans un premier temps de consacrer les excédents du régime des allocations pour perte de gain (APG) à l’AVS. Ce n’est que sous la pression d’un grand nombre d’initiatives politiques que Stampfli se lance en 1943 dans le projet l’AVS. Lors de son allocution de Nouvel An 1944, il annonce qu'une assurance vieillesse fédérale sera bientôt une réalité. Quelques mois plus tard, le Conseil fédéral institue une commission d’experts qui, encadrée par l’OFAS, formule les principales caractéristiques de l’AVS (système de répartition et financement par des cotisations prélevées sur les salaires). Pendant les délibérations en commission et en séance plénière, Stampfli réussit la gageure de rallier partis, associations économiques et syndicats à un projet d’AVS d’envergure modeste. En même temps, cette focalisation sur l’AVS coupe court aux débats portant sur des options visant une sécurité sociale universelle, à l’image du plan Beveridge britannique, ou les voue à l’échec. Le modèle d’une AVS modeste – il est question de « rentes de base » – laisse suffisamment de marge pour que les institutions de prévoyance privées puissent continuer à prospérer, conformément à la demande du lobby des caisses de pension, dont Stampfli était un représentant durant l'Entre-deux-guerres. A la grande satisfaction de Stampfli, les votants acceptent le projet d’AVS le 6 juillet 1947. La nouvelle assurance sociale verse les premières rentes le 1er janvier 1948.